Треугольник – три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка с концами в этих точках.

• Сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей: .
• Сумма углов треугольника

 

Треугольник вполне определяется, если заданы:

1.      три стороны, или

2.      две стороны и угол между ними, или

3.      сторона и два прилежащих к ней угла

 

Медианой треугольника называется прямая, соединяющая вершину с серединой противоположной ей стороны треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке – центре тяжести треугольника и делятся этой точкой в отношении 2:1 (считая от вершины угла). Длина медианы, проведенной на сторону a:

, где a,b,c – длины сторон треугольника.

 

Биссектрисой треугольника называется прямая, делящая его внутренний угол пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной окружности. Длина биссектрисы угла A:

, где a,b,c – длины сторон треугольника, A,B,C - углы треугольника.

 

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой его ортоцентром.

 

Высота, медиана и биссектриса, опущенные на одну и ту же сторону, совпадают, если две другие стороны треугольника равны (т.е. треугольника равнобедренный). Совпадение двух из этих линий достаточно для установления равнобедренности треугольника.

 

У равностороннего треугольника (a=b=c) центры вписанной и описанной окружности, центр тяжести и ортоцентр совпадают.

 

Средняя линия – прямая, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

 

Площадь треугольника:

,

где

,

h_b – высота, опущенная на сторону b,

R – радиус описанной окружности,

 

Основные метрические соотношения между элементами треугольника.

 

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Теорема тангенсов:

Теорема о проекциях:

Тригонометрические функции от углов треугольника:

Величина площади:

Полупериметр:

Длина высоты к стороне a:

Длина биссектрисы угла A:

Длина медианы к стороне a:

Радиус вписанной окружности:

Радиус описанной окружности:

Расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей:

Расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей:

Соотношение между радиусами вписанной и вневписанных окружностей:

 

* - обозначения

a,b,c – длины сторон треугольника;

A,B,C – противолежащие сторонам a,b,c углы;

S – площадь; R – радиус описанной окружности; r – радиус вписанной окружности;

r - радиус вневписанной окружности; - полупериметр.